高中数学必修二数列的知识点，数学高二数列全部知识点笔记

【高中数学必修二数列的知识点，数学高二数列全部知识点笔记】网高中频道为你准备了《高三数学必修二知识点：数列的概念与简单表示法》助你成功！

1.数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5与数列5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1是不同的数列.

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂， 2次幂， 3次幂， 4次幂， …构成数列：-1 ， 1 ， -1 ， 1 ， ….

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n) ，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.

2.数列的分类

(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， … ， 2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， …或1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， … ， 2n-1 ， … ，它就表示无穷数列.

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.

3.数列的通项公式

数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … ，

由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1 ， 2 ， … ， n}为定义域的函数的表达式.

(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1 ， 2 ， 3 ， …去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.

(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

如2的不足近似值，精确到1 ， 0.1 ， 0.01 ， 0.001 ， 0.0001 ， …所构成的数列1 ， 1.4 ， 1.41 ， 1.414 ， 1.4142 ， …就没有通项公式.

(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.

4.数列的图象

对于数列4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：

序号：1234567

项：45678910

这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1 ， 2 ， 3 ， … ， n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.

由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.

数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.

把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.

5.递推数列

一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10.①

数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4 ，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1 。

1.已知数列{an}中， an=n2+n ，则a3等于()

A.3B.9

C.12D.20

答案：C

2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()

A.1 ， 12 ， 13 ， 14 ， …

B.-1 ， -2 ， -3 ， -4 ， …

C.-1 ， -12 ， -14 ， -18 ， …

D.1 ， 2 ， 3 ， … ， n

解析：选C.对于A ， an=1n ， n∈N* ，它是无穷递减数列;对于B ， an=-n ， n∈N* ，它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C ， an=-(12)n-1 ，它是无穷递增数列.

3.下列说法不正确的是()

A.根据通项公式可以求出数列的任何一项

B.任何数列都有通项公式

C.一个数列可能有几个不同形式的通项公式

D.有些数列可能不存在项

解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0 ， ….

4.数列23 ， 45 ， 67 ， 89 ， …的第10项是()

A.1617B.1819

C.2021D.2223

解析：选C.由题意知数列的通项公式是an=2n2n+1 ，

∴a10=2×102×10+1=2021.故选C.

5.已知非零数列{an}的递推公式为an=nn-1?an-1(n>1) ，则a4=()

A.3a1B.2a1

C.4a1D.1

解析：选C.依次对递推公式中的n赋值，当n=2时， a2=2a1;当n=3时， a3=32a2=3a1;当n=4时， a4=43a3=4a1.