python菜鸟基础教程 Python小白的数学建模课-10.微分方程边值问题

小白往往听到微分方程就觉得害怕，其实数学建模中的微分方程模型不仅没那么复杂，而且很容易写出高水平的数模论文。
本文介绍微分方程模型边值问题的建模与求解，不涉及算法推导和编程，只探讨如何使用 Python 的工具包，零基础求解微分方程模型边值问题。
通过 3个 BVP 案例层层深入，手把手教你搞定微分方程边值问题。
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1. 常微分方程的边值问题（BVP）1.1 基本概念微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。
微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域也有广泛应用。
微分方程分为初值问题和边值问题。初值问题是已知微分方程的初始条件，即自变量为零时的函数值，一般可以用欧拉法、龙哥库塔法来求解。边值问题则是已知微分方程的边界条件，即自变量在边界点时的函数值。
边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关，并且在现代控制理论等学科中有重要应用。例如，力学问题中的悬链线问题、弹簧振动问题，热学问题中的导热细杆问题、细杆端点冷却问题，流体力学问题、结构强度问题。
上节我们介绍的常微分方程，主要是微分方程的初值问题。本节介绍二阶常微分方程边值问题的建模与求解。

1.2 常微分方程边值问题的数学模型只含边界条件作为定解条件的常微分方程求解问题，称为常微分方程的边值问题（boundary value problem）。
一般形式的二阶常微分方程边值问题：
\[y{\ ''} = f(x,y,y{\ '}) ， \; a<x<b\]
有三种情况的边界条件：
（1）第一类边界条件（两点边值问题）：
\[y(a)=ya ， y(b)=yb\]
（2）第二类边界条件：
\[y\ '(a)=ya ， y\ '(b)=yb\]
（3）第三类边界条件：
\[\begin{cases}y\ '(a)-a_0\ y(a) = a_1\\y\ '(b)-b_0\ y(b) = b_1\end{cases}\]
其中：\(a_0 \geq 0 ， b_0 \geq 0 ， a_0+b_0>0\)

1.3 常微分方程边值问题的数值解法简单介绍求解常微分方程边值问题的数值解法，常用方法有：打靶算法、有限差分法和有限元法。打靶算法把边值问题转化为初值问题求解，是根据边界条件反复迭代调整初始点的斜率，使初值问题的数值解在边界上“命中”问题的边值条件。有限差分法把空间离散为网格节点，用差商代替微商，将微分方程离散化为线性或非线性方程组来求解。有限元法将微分方程离散化，有限元就是指近似连续域的离散单元，对每一单元假定一个近似解，然后推导求解域满足条件，从而得到问题的解。
按照本系列“编程方案”的概念，不涉及这些算法的具体内容，只探讨如何使用 Python 的工具包、库函数，零基础求解微分方程模型边值问题。我们的选择还是 Python 常用工具包三剑客：Scipy、Numpy 和 Matplotlib 。

2. SciPy 求解常微分方程边值问题2.1 BVP 问题的标准形式Scipy 用 solve_bvp() 函数求解常微分方程的边值问题，定义微分方程的标准形式为：
\[\begin{cases}y{\ '} = f(x,y) ， \; a<x<b\\g(y(a),y(b)=0)\end{cases}\]
因此要将第一类边界条件 \(y(a)=ya ， y(b)=yb\) 改写为：
\[\begin{cases}y(a)-ya=0\\y(b)-yb=0\end{cases}\]

2.2 scipy.integrate.solve_bvp() 函数**scipy.integrate.solve_bvp() **是求解微分方程边值问题的具体方法，可以求解一阶微分方程（组）的两点边值问题（第一类边界条件）。在 odeint 函数内部使用 FORTRAN 库 odepack 中的 lsoda ，可以求解一阶刚性系统和非刚性系统的初值问题。官网介绍详见： scipy.integrate.solve_bvp — SciPy v1.7.0 Manual。
scipy.integrate.solve_bvp(fun, bc, x, y, p=None, S=None, fun_jac=None, bc_jac=None, tol=0.001, max_nodes=1000, verbose=0, bc_tol=None)solve_bvp 的主要参数：
求解标准形式的微分方程（组）主要使用前 4 个参数：

func: callable fun(x, y, ..)导数函数 \(f(y,x)\) ， y 在 x 处的导数，以函数的形式表示。可以带有参数 p 。
bc: callable bc(ya, yb, ..)边界条件， y 在两点边界的函数，以函数的形式表示。可以带有参数 p 。
x: array：初始网格的序列， shape (m,) 。必须是单调递增的实数序列，起止于两点边界值 xa ， xb 。
y: array：网格节点处函数值的初值， shape (n,m) ，第 i 列对应于 x[i] 。
p: array：可选项，向导数函数 func、边界条件函数 bc 传递参数。

其它参数用于控制求解算法的参数，一般情况可以忽略。
solve_bvp 的主要返回值：

sol: PPoly通过 PPoly （如三次连续样条函数）插值求出网格节点处的 y 值。
x: array数组，形状为 (m,) ，最终输出的网格节点。
y: array二维数组，形状为 (n,m) ，输出的网格节点处的 y 值。
yp: array二维数组，形状为 (n,m) ，输出的网格节点处的 y' 值。

3. 实例 1：一阶常微分方程边值问题3.1 例题 1：一阶常微分方程边值问题求常微分方程边值问题的数值解。
\[\begin{cases}\begin{aligned}&y\ ''+ \left| y \right| = 0\\&y(x=0) = 0.5\\&y(x=4) = -1.5\end{aligned}\end{cases}\]
引入变量 \(y0 = y ， y1 = y\ '\) ，通过变量替换就把原方程化为如下的标准形式的微分方程组：
\[\begin{cases}y_0^{'} = y_1\\y_1^{'} = -\left| y_0 \right| \\y(x=0) - 0.5 = 0\\y(x=4) + 1.5 = 0\end{cases}\]
这样就可以用 solve_bvp() 求解该常微分方程的边值问题。

3.2 常微分方程的编程步骤以该题为例讲解scipy.integrate.solve_bvp 求解常微分方程边值问题的步骤：

导入 scipy、numpy、matplotlib 包；
定义导数函数 dydx(x,y)
注意本问题中 y 表示向量，记为 \(y=[y_0,y_1]\) ，导数定义函数 dydx(x,y) 编程如下：

# 导数函数，计算导数 dY/dxdef dydx(x, y):dy0 = y[1]dy1 = -abs(y[0])return np.vstack((dy0, dy1))

定义边界条件函数 boundCond(ya,yb)
本问题中边界条件为常数，具体编程如下。注意对照 3.1中的边值条件，没有为什么，函数就是这么定义的。

# 计算 边界条件def boundCond(ya, yb):fa = 0.5# 边界条件 y(xa=0) = 0.5fb = -1.5# 边界条件 y(xb=4) = -1.5return np.array([ya[0]-fa,yb[0]-fb])

设置 x、y 的初值
调用 solve_bvp() 求解常微分方程在区间 [xa,xb] 的数值解
由 solve_bvp() 的返回值 sol ，获得网格节点的处的 y值。

3.3 Python 例程

# mathmodel11_v1.py# Demo10 of mathematical modeling algorithm# Solving ordinary differential equations (boundary value problem) with scipy.from scipy.integrate import odeint, solve_bvpimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 1. 求解微分方程组边值问题 ， DEMO# y'' + abs(y) = 0, y(0)=0.5, y(4)=-1.5# 导数函数 ， 计算导数 dY/dxdef dydx(x, y):dy0 = y[1]dy1 = -abs(y[0])return np.vstack((dy0, dy1))# 计算 边界条件def boundCond(ya, yb):fa = 0.5# 边界条件 y(xa=0) = 0.5fb = -1.5# 边界条件 y(xb=4) = -1.5return np.array([ya[0]-fa,yb[0]-fb])xa, xb = 0, 4# 边界点 (xa,xb)# fa, fb = 0.5, -1.5# 边界点的 y值xini = np.linspace(xa, xb, 11)# 确定 x 的初值yini = np.zeros((2, xini.size))# 确定 y 的初值res = solve_bvp(dydx, boundCond, xini, yini)# 求解 BVPxSol = np.linspace(xa, xb, 100)# 输出的网格节点ySol = res.sol(xSol)[0]# 网格节点处的 y 值plt.plot(xSol, ySol, label='y')# plt.legend()plt.xlabel("x")plt.ylabel("y")plt.title("scipy.integrate.solve_bvp")plt.show()

3.4 Python 例程运行结果

文章插图

4. 实例 2：水滴横截面的形状4.1 例题 2：水滴横截面形状问题水平面上的水滴横截面形状，可以用如下的微分方程描述：
\[\begin{cases}\begin{aligned}&\frac{d^2 h}{dx^2} + [1-h]*[1+(\frac{dh}{dx})^2]^{3/2}= 0\\&h(x=-1) = h(x=1) = 0\end{aligned}\end{cases}\]
引入变量 \(h0 = h ， h1 = h\ '\) ，通过变量替换就把原方程化为如下的标准形式的微分方程组：
\[\begin{cases}h_0^{'} = h_1\\h_1^{'} = (h_0-1) * [1+h_1^2]^{3/2}\\h_0(x=-1) = h_0(x=1) = 0\end{cases}\]
这样就可以用 solve_bvp() 求解该常微分方程的边值问题。
注：本问题来自司守奎等，数学建模算法与应用（第2版），国防工业出版社， 2015

4.2 Python 例程：水滴横截面形状问题

# mathmodel11_v1.py# Demo10 of mathematical modeling algorithm# Solving ordinary differential equations (boundary value problem) with scipy.from scipy.integrate import odeint, solve_bvpimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 3. 求解微分方程边值问题 ， 水滴的横截面# 导数函数 ， 计算 h=[h0,h1] 点的导数 dh/dxdef dhdx(x,h):# 计算 dh0/dx, dh1/dx 的值dh0 = h[1]# 计算 dh0/dxdh1 = (h[0]-1)*(1+h[1]*h[1])**1.5# 计算 dh1/dxreturn np.vstack((dh0, dh1))# 计算 边界条件def boundCond(ha,hb):# ha = 0# 边界条件：h0(x=-1) = 0# hb = 0# 边界条件：h0(x=1) = 0return np.array([ha[0],hb[0]])xa, xb = -1, 1# 边界点 (xa=0, xb=1)xini = np.linspace(xa, xb, 11)# 设置 x 的初值hini = np.zeros((2, xini.size))# 设置 h 的初值res = solve_bvp(dhdx, boundCond, xini, hini)# 求解 BVP# scipy.integrate.solve_bvp(fun, bc, x, y,..)#fun(x, y, ..), 导数函数 f(y,x) ， y在 x 处的导数 。#bc(ya, yb, ..), 边界条件 ， y 在两点边界的函数 。#x: shape (m) ， 初始网格的序列 ， 起止于两点边界值 xa ， xb 。#y: shape (n,m) ， 网格节点处函数值的初值 ， 第 i 列对应于 x[i] 。xSol = np.linspace(xa, xb, 100)# 输出的网格节点hSol = res.sol(xSol)[0]# 网格节点处的 h 值plt.plot(xSol, hSol, label='h(x)')plt.xlabel("x")plt.ylabel("h(x)")plt.axis([-1, 1, 0, 1])plt.title("Cross section of water drop by BVP xupt")plt.show()

4.3 Python 例程运行结果

文章插图

5. 实例 3：带有未知参数的微分方程边值问题5.1 例题 3：Mathieu 方程的特征函数Mathieu 在研究椭圆形膜的边界值问题时，导出了一个二阶常微分方程，其形式为：
\[\frac{d^2 y}{dx^2} + [\lambda-2q\ cos(2x)]\ y= 0\]
用这种形式的数学方程可以描述自然中的物理现象，包括振动椭圆鼓、四极质谱仪和四极离子阱、周期介质中的波动、强制振荡器参数共振现象、广义相对论中的平面波解决方案、量子摆哈密顿函数的本征函数、旋转电偶极子的斯塔克效应。
式中 \(\lambda、q\) 是两个实参数，方程的系数是以 \(\pi\) 或 \(2\pi\) 为周期的，但只有在 \(\lambda、q\) 满足一定关系时 Mathieu 方程才有周期解。
引入变量 \(y0 = y ， y1 = y\ '\) ，通过变量替换就把原方程化为如下的标准形式的微分方程组：
\[\begin{cases}y_0^{'} = y_1\\y_1^{'} = -[\lambda-2q\ cos(2x)]\ y_0 \\y_0(x=0) = 1\\y_1(x=0) = 0\\y_1(x=\pi)=0\end{cases}\]
这样就可以用 solve_bvp() 求解该常微分方程的边值问题。
5.2 常微分方程的编程步骤以该题为例讲解scipy.integrate.solve_bvp 求解常微分方程边值问题的步骤。
需要注意的是：（1）本案例涉及一个待定参数 \(\lambda\) 需要通过 solve_bvp(fun, bc, x, y, p=None) 中的可选项 p 传递到导数函数和边界条件函数，（2）本案例涉及 3 个边界条件，要注意边界条件函数的定义。

导入 scipy、numpy、matplotlib 包；
定义导数函数 dydx(x,y,p)
本问题中 y 表示向量，记为 \(y=[y_0,y_1]\) ，定义函数 dydx(x,y,p) 中的 p 是待定参数。

# 导数函数 ， 计算导数 dY/dxdef dydx(x, y, p): # p 是待定参数lam = p[0]# 待定参数 ， 从 solve-bvp() 传递过来q = 10# 设置参数dy0 = y[1]dy1 = -(lam-2*q*np.cos(2*x))*y[0]return np.vstack((dy0, dy1))

定义边界条件函数 boundCond(ya,yb,p)
注意，虽然边界条件定义函数并没有用到参数 p ，但也必须写在输入变量中，函数就是这么要求的。

# 计算边界条件def boundCond(ya, yb, p):lam = p[0]return np.array([ya[0]-1,ya[0],yb[0]])

设置 x、y 的初值
调用 solve_bvp() 求解常微分方程在区间 [xa,xb] 的数值解
由 solve_bvp() 的返回值 sol ，获得网格节点的处的 y值。

5.3 Python 例程

# mathmodel11_v1.py# Demo10 of mathematical modeling algorithm# Solving ordinary differential equations (boundary value problem) with scipy.from scipy.integrate import odeint, solve_bvpimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 4. 求解微分方程组边值问题 ， Mathieu 方程# y0' = y1, y1' = -(lam-2*q*cos(2x))y0)# y0(0)=1, y1(0)=0, y1(pi)=0# 导数函数 ， 计算导数 dY/dxdef dydx(x, y, p): # p 是待定参数lam = p[0]q = 10dy0 = y[1]dy1 = -(lam-2*q*np.cos(2*x))*y[0]return np.vstack((dy0, dy1))# 计算 边界条件def boundCond(ya, yb, p):lam = p[0]return np.array([ya[0]-1,ya[0],yb[0]])xa, xb = 0, np.pi# 边界点 (xa,xb)xini = np.linspace(xa, xb, 11)# 确定 x 的初值xSol = np.linspace(xa, xb, 100)# 输出的网格节点for k in range(5):A = 0.75*ky0ini = np.cos(8*xini)# 设置 y0 的初值y1ini = -A*np.sin(8*xini)# 设置 y1 的初值yini = np.vstack((y0ini, y1ini))# 确定 y=[y0,y1] 的初值res = solve_bvp(dydx, boundCond, xini, yini, p=[10])# 求解 BVPy0 = res.sol(xSol)[0]# 网格节点处的 y 值y1 = res.sol(xSol)[1]# 网格节点处的 y 值plt.plot(xSol, y0, '--')plt.plot(xSol, y1,'-',label='A = {:.2f}'.format(A))plt.xlabel("xupt")plt.ylabel("y")plt.title("Characteristic function of Mathieu equation")plt.axis([0, np.pi, -5, 5])plt.legend(loc='best')plt.text(2,-4,"youcans-xupt",color='whitesmoke')plt.show()

5.4 Python 例程运行结果

文章插图
初值 A从 0~3.0 变化时， y-x 曲线（图中虚线）几乎不变，但 y'-x 的振幅增大；当 A 再稍微增大，系统就进入不稳定区， y-x 曲线振荡发散（图中未表示）。
关于 Mathieu 方程解的稳定性的讨论，已经不是数学建模课的内容，不再讨论。

6. 小结

微分方程的边值问题相对初值问题来说更为复杂，但是用 Scipy 工具包求解标准形式的微分方程边值问题，编程实现还是不难掌握的。
关于边值问题的模型稳定性、灵敏度的分析，是更为专业的问题。除非找到专业课程教材或范文中有相关内容可以参考套用，否则不建议小白自己摸索，这些问题不是调整参数试试就能试出来的。

【本节完】

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