变量之间|函数的表示法

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最近很多同学都在问，函数章节学不好，怎么办呢？
同学们应该都知道函数是高中数学中比较重要的课程内容，也贯穿了整个高中数学的学习。
今天包Sir就给大家讲解函数的表示法，希望大家可以学好高中数学必修一函数课程。
小编乱入
知识会
知识点1函数的表示方法【基础】
函数的表示方法有三种，分别是解析法、图象法、列举法.
1．列表法
1-1 定义
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫列表法．
例如，学生的身高(单位：厘米)
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表都是用列表法来表示函数关系的，除此之外还有公共汽车上的票价表等．
1-2 优缺点
优点：不需要计算可直接看出与自变量的值对应的函数值．
缺点：当自变量的取值较多甚至无限时，无法表示．
2．图象法
2-1 定义
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫图象法．(形)
如医学上常用的心电图，就是利用仪器记录心脏跳动的强度(函数值)随时间变化的曲线图.

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2-2 优缺点
优点：能形像直观地表示函数的变化情况．请你从下图中读出函数的定义域与值域、增减性.

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缺点：只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有较大误差．
敲黑板
(1)并非所有的函数都能用图象法表示，如：
狄利克雷函数表达式为它就不能画出函数图象.
(2)函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线，但不是任何一个图形都是函数的图象.
3．解析法
3-1 定义
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫解析法．(数)
例如，正方形面积S是边长x的函数，用公式S＝x2(x>0)来表示，既说明了S是x的函数，又说明了如何从x出发求出对应的面积S.
再如等都是用解析式表示函数关系的．
3-2 优缺点
优点：
(1)简明、全面地概括变量间的关系；
(2)可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；
(3)便于利用解析式研究函数的性质．
缺点：
(1)不是所有的函数都有解析式；
(2)不直观．
示范例题
例题1.(单选题)一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为()

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知识点2 分段函数【基础】
1. 分段函数的概念
1-1 概念
自变量x在不同的取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．
分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式.
如：在实际生活中，上海至港澳台地区信函部分资费表.

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设信函的重量为x(克)，应支付的资费为y(元)，则：
求甚解
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系．
(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围;
(3)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.
1-2 分段函数的三要素
(1)分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集．
(2)分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．
2. 常见几种分段函数
2-1 取整函数
(表示不大于x的最大整数)，图象如图.

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2-2 符号函数
f
2-3 含绝对值符号的函数
图象如图.

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2-4 自定义函数

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2-5 点列函数

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3. 分段函数图象的特征
根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．
如：汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶速度v看作时间t的函数，则函数图象如图所示．

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再比如，下面两个图也是分段函数的图象．
示范例题
【答案】7
【解析】因为810，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
知识点3 作函数的图象【基础】
1. 函数图象的特征
既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线或离散的点．
2. 描点法作函数图象的三个步骤
(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来；
(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))在平面直角坐标系中描出来；
(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
求甚解
作函数图象时，可利用基本函数图象作出所求函数的图象，已学过的基本函数图象有：

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示范例题
例题1.(单选题)函数f(x)＝|x－1|的图象是()

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A．图A
B．图B
C．图C
D．图D
【答案】B

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描点画出示意图如下：

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K重难
要点1函数的图象变换【重点】
1. 函数图象的平移变换
1-1 左加右减
函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a
例如：函数f(x)＝x2，分别作出y＝f(x＋1)，y＝f(x－1)的图象如图所示．

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具体变化过程可以从如下动态图中看到：
1-2 上加下减
函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b
例如：函数f(x)＝x2，分别作出y＝f(x)＋1，y＝f(x)－1的图象如图所示．

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2. 函数图象的对称变换

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例如，，分别作出y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)
的图象如图所示：

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3. 函数图象的翻折变换
3-1 利用y＝f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象

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3-2 利用y＝f(x)的图象得到y＝f(|x|)的图象

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示范例题
例题1.(解析题)画出下列函数的大致图象：

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(2)先作出y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图所示．

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要点2 待定系数法【重点】
1. 定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的形式，可先把所求函数用已知形式表示出来，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫作待定系数法．
2. 待定系数法求函数解析式的步骤
设出含待定系数的函数解析式；
将题设条件代入解析式得出方程或方程组；
通过解方程或方程组求出待定系数的值；
写出函数的解析式.
示范例题
例题1.（解析题）已知y＝f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋8，求此一次函数的解析式．
【答案】见解析
【 变量之间|函数的表示法】
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